Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Локальные бифуркации обратимых кусочно-гладких динамических систем на плоскости

https://doi.org/10.24108/mathm.0120.0000213

Полный текст:

Аннотация

Существует довольно много работ, в которых рассматриваются локальные бифуркации кусочно-гладких векторных полей на плоскости. Исследовались также локальные бифуркации гладких векторных полей на плоскости, обратимых относительно инволюции. В настоящей работе вводятся обратимые динамические системы, заданные кусочно-гладкими векторными полями на координатной плоскости (x, y) , для которых линия разрыва у = 0 совпадает с множеством неподвижных точек инволюции системы. Рассматриваются типичные однопараметрические возмущения такого векторного поля. Описаны бифуркации особой точки О векторного поля, лежащей на этой линии в двух случаях. В первом случае точка О – грубое седло гладких векторных полей, совпадающих с кусочно-гладким векторным полем в полуплоскостях y > 0 и y < 0. Параметр можно выбрать так, что при значениях параметра меньших или равных нулю динамическая система имеет в окрестности точки О единственную особую точку с четырьмя гиперболическими секторами. При положительных значениях параметра в окрестности точки О имеется три особых точки, квазицентр и два седла, сепаратрисы которого образуют простой замкнутый контур, ограничивающий ячейку из замкнутых траекторий. Во втором случае О – грубый узел соответствующих векторных полей. Параметр можно выбрать так, что при значениях параметра меньших или равных нулю динамическая система имеет в окрестности точки О единственную особую точку, а все остальные траектории замкнуты. При положительных значениях параметра в окрестности точки О имеется три особых точки, два узла и квазиседло, две сепаратрисы которого идут в узлы.

Об авторе

В. Ш. Ройтенберг
Ярославский государственный технический университет, Ярославль
Россия

Ройтенберг Владимир Шлеймович

доцент кафедры высщей математики



Список литературы

1. Devaney R.L. Reversible diffeomorphisms and flows // Trans. of the Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 218. Pp. 89–113. DOI: 10.2307/1997429

2. Lamb J.S.W., Roberts J.A.G. Time-reversal symmetry in dynamical systems: A survey // Physica D. 1998. Vol. 112. No. 1–2. Pp. 1–39. DOI: 10.1016/S0167-2789(97)00199-1

3. Lamb J.S.W., Capel H.W. Local bifurcations on the plane with reversing point group symmetry // Chaos, Solitons, & Fractals. 1995. Vol. 5. No. 2. Pp. 271–293. DOI: 10.1016/0960-0779(93)E0022-4

4. Teixeira M.A. Singularities of reversible vector fields // Physica D. 1997. Vol. 100. No. 1–2. Pp. 101–118. DOI: 10.1016/S0167-2789(96)00183-2

5. Fiedler B., Liebscher S., Alexander J.C. Generic Hopf bifurcation from lines of equilibria without parameters: I. Theory // J. of Differential Equations. 2000. Vol. 167. No. 1. Pp. 16–35. DOI: 10.1006/jdeq.2000.3779

6. Лерман Л.М., Тураев Д.В. О бифуркациях потери симметрии в обратимых системах // Нелинейная динамика. 2012.T. 8. № 2. С. 323–343.

7. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Обратимые в широком смысле динамические системы // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. 2015. № 11(208). С. 89–96.

8. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

9. Kuznetsov Yu.A., Rinaldi S., Gragnani A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2003. Vol. 13. No. 8. Pp. 2157–2188. DOI: 10.1142/S0218127403007874

10. Simpson D.J.W., Meiss J.D. Andronov–Hopf bifurcations in planar, piecewise- smooth, continuous flows // Physics Letters A. 2007. Vol. 371.No. 3. Pp. 213–220. DOI: 10.1016/j.physleta.2007.06.046

11. Maoan Han, Weinian Zhang. On Hopf bifurcation in non-smooth planar systems // J. of Differential Equations. 2010. Vol. 248. No. 9. Pp. 2399–2416. DOI: 10.1016/j.jde.2009.10.002

12. Guardia M., Seara T.M., Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // J. of Differential Equations. 2011. Vol. 250. No. 4. Pp. 1967–2023. DOI: 10.1016/j.jde.2010.11.016

13. Ройтенберг В.Ш. О рождении странного аттрактора из точки стыка линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского гос. ун-та. Сер. 4: Естественно-математические и технические науки. 2016. № 4 (191). С. 53–59.

14. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «трехкратный сшитый фокус» // Изв. высш. учеб. заведений. Поволжский регион. Физико-матем. науки. 2017. № 2 (42). С. 18–31. DOI: 10.21685/2072-3040-2017-2-2

15. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях особой точки типа «сшитый клюв» // Вестник Адыгейского гос. ун-та. Сер. 4: Естественно-математические и техн. науки. 2017. № 4 (211). С. 22–29.

16. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях особой точки типа «полуфокус» кусочно-гладкой динамической системы // Математика и математическое моделирование. 2018. № 5. С. 57-70. DOI: 10.24108/mathm.0518.0000140

17. Палис Ж., Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение. М.: Мир, 1986. 301 с. [Palis J., Melo W.de. Geometric theory of dynamical systems: an introduction. N.Y.: Springer, 1982. 198 p.].

18. Методы качественной теории в нелинейной динамике / Л.П. Шильников и др. Ч. 1. М.; Ижевск: ИКИ, 2004. 415 с. [Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics / L.P. Shilnikov a.o. Pt. 1. Singapore; L.: World Scientific, 1998. 392 p.].

19. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб. пособие. 3-е изд. М.: Наука, 1984. 271 с.

20. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов и др. М.: Наука, 1966. 568 с.


Для цитирования:


Ройтенберг В.Ш. Локальные бифуркации обратимых кусочно-гладких динамических систем на плоскости. Математика и математическое моделирование. 2020;(1):1-15. https://doi.org/10.24108/mathm.0120.0000213

For citation:


Roitenberg V.S. Local Bifurcations of Reversible Piecewise Smooth Planar Dynamical Systems. Mathematics and Mathematical Modeling. 2020;(1):1-15. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0120.0000213

Просмотров: 23


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)