Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Анализ погрешности некоторых явных конечно-разностных методов решения задачи Коши на примере модельного уравнения Далквиста

https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000205

Полный текст:

Аннотация

Цель работы состоит в оценке минимального числа узлов равномерной сетки (максимального шага интегрирования), необходимого для достижения назначенной точности конечно-разностных методов Рунге-Кутты первого и второго порядков точности для модельного уравнения Далквиста.

Аналитически исследуется погрешность конечно-разностных методов путем явного сравнения значений точных решений дифференциальной и разностной задач Коши в узлах равномерной сетки по модулю, а глобальная погрешность определяется максимумом модулей̆ локальных погрешностей̆ на выбранной̆ сетке. Оценки глобальной̆ погрешности получаются из неравенств, основанных на разложениях функций экспоненты и логарифма в ряды Тейлора и Меркатора, и явно зависят от количества узлов равномерной сетки.

Найдены оценки нижних границ числа узлов равномерной сетки, необходимые для достижения назначенной̆ точности сеточного решения задачи Коши указанными методами.

Полученная в работе оценка глобальной погрешности прямого метода Эйлера для модельного уравнения Далквиста существенно уточняет аналогичную оценку из работы (Hairer E., and Lubich C. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations) и показывает возможность использования большего примерно в 1,7 раза значения шага интегрирования с сохранением заданной точности аппроксимации.

Порядок точности конечно-разностных схем в теории численных методов интегрирования дифференциальных уравнений связывает глобальную погрешность метода с шагом интегрирования, однако не позволяет напрямую выразить точность аппроксимации на заданной сетке, и поэтому оптимальный шаг интегрирования чаще всего определяется экспериментально. В работе такая связь исследована на модельном примере явно, и показан один из возможных способов получения аналитических оценок шага интегрирования при заданной точности аппроксимации.

Непосредственное изучение глобальной погрешности конечно-разностных схем имеет значение в задачах, где важен компромисс между точностью аппроксимации и сложностью (объемом вычислений), когда количество узлов сетки имеет значение. В этой связи представляет интерес распространение аналогичных исследований оценки погрешности на другие конечно-разностные схемы: методы Рунге-Кутты более высоких порядков точности и многошаговые методы.

Результаты работы могут быть полезны в задачах компьютерного моделирования и машинного обучения.

Об авторах

А. А. Ахрем
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской Академии Наук, Москва
Россия

Ахрем Андрей Афанасьевич

Главный специалист, отдел 82 



А. П. Носов
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской Академии Наук, Москва
Россия

Носов Алексей Петрович

старший научный сотрудник, отдел 81



В. З. Рахманкулов
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской Академии Наук, Москва
Россия

Рахманкулов Виль Закирович

Заведующий отделом 



К. В. Южанин
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской Академии Наук, Москва
Россия

Южанин Кирилл Викторович

Инженер-исследователь, отдел 82  



Список литературы

1. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: учеб. пособие. 3-е изд. М.: Физматлит, 2008. 284 с.

2. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: учебник. 4-е изд. М.: Физматлит, 2005. 253 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: учеб. пособие. 4-е изд. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 636 с.

4. Лобанов А.И., Петров И.Б. Математическое моделирование нелинейных процессов. М.: Юрайт, 2019. 255 с.

5. Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. 3-е изд. М.: КомКнига: УРСС, 2010. 304 с.

6. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. 3-е изд. М.: Либроком, 2015. 352 с.

7. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 248 с.

8. Найфэ А.Х. Введение в теорию возмущений: учебник: пер. с англ. М.: Мир, 1984. 535 с. [Nayfeh A.H. Introduction to perturbation techniques. N.Y.: Wiley, 1981. 519 p.].

9. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. 2-е изд. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 192 с.

10. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. 3-е изд. М.: Эдиториал УРСС, 2010. 248 с.

11. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики: учеб. пособие. М.: Наука, 1969. 380 с.

12. Лобанов А.И., Петров И.Б. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем: учеб. пособие. Ч. 1. М.: МФТИ, 2000. 168 с.

13. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. 3-е изд. М.: Физматгиз, 1963. 410 с.

14. Hairer E., Lubich Ch. Numerical solution of ordinary differential equations // The Princeton companion to applied mathematics / Ed. by N.J. Higham. Princeton; Oxf.: Princeton Univ. Press, 2015. Pp. 293–305.


Для цитирования:


Ахрем А.А., Носов А.П., Рахманкулов В.З., Южанин К.В. Анализ погрешности некоторых явных конечно-разностных методов решения задачи Коши на примере модельного уравнения Далквиста. Математика и математическое моделирование. 2019;(5):32-48. https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000205

For citation:


Akhrem A.A., Nosov A.P., Rakhmankulov V.Z., Yuzhanin K.V. Error Margin Analysis of Certain Explicit Finite-difference Methods to Solve the Cauchy Problem for Dahlquist Model Equation. Mathematics and Mathematical Modeling. 2019;(5):32-48. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000205

Просмотров: 144


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)