Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

О симметричных решениях линейных нестационарных матричных дифференциальных уравнений

https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000202

Полный текст:

Аннотация

Линейные матричные дифференциальные уравнения представляют большой интерес для различных областей науки и техники. Так, к исследованию линейных нестационарных матричных дифференциальных уравнений во многих случаях приводит построение решений терминальных задач для нелинейных систем управления. Недавно было показано, что решение задачи Коши для линейного матричного дифференциального уравнения с аналитическими коэффициентами симметрично в односвязной области комплексной плоскости тогда и только тогда, когда все производные решения, вычисленные в силу уравнения, симметричны в начальной точке. В настоящей работе мы решаем проблему симметричности решений линейных нестационарных матричных дифференциальных уравнений с коэффициентами конечной степени гладкости. Прежде всего, мы доказываем достаточное условие симметричности решения на заданном интервале. Чтобы проверить, является ли решение задачи Коши для уравнения симметричным на интервале, требуется построить две специальные матричные последовательности и вычислить в силу уравнения производные высших порядков исследуемого решения. Если все производные до некоторого порядка включительно симметричны в начальной точке и матричные последовательности удовлетворяют заданному набору свойств, то исследуемое решение симметрично на всем интервале. Полагая, что предложенное условие выполнено, мы устанавливаем формулу, описывающую симметричное решение уравнения. Мы показываем, как эта формула позволяет построить симметричное решение в случае, когда непосредственное интегрирование уравнения представляется затруднительным. Мы также демонстрируем, как с помощью полученной формулы можно построить оценки симметричных решений. Это особенно важно в случае, если непосредственное применение полученной формулы не упрощает вычисления, необходимые для нахождения решений исходного уравнения.

Дальнейшие исследования в этой области могут быть направлены на построение новых оценок для границ спектра симметричных решений линейных нестационарных матричных дифференциальных уравнений. Результаты настоящей работы будут интересны специалистам в нелинейной теории управления, в особенности тем, кто занимается построением решений терминальных задач.

Об авторе

Д. А. Фетисов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия


Список литературы

1. Bellman R. Introduction to matrix analysis. N.Y.: McGraw-Hill, 1960. 328 p.

2. Mori T., Fukuma N., Kuwahara M. On the Lyapunov matrix differential equation // IEEE Trans. on Automatic Control. 1986. Vol. 31. No. 9. Pp. 868-869. DOI: 10.1109/TAC.1986.1104416

3. Reid W.T. Riccati differential equations. N.Y.: Academic Press, 1972. 216 p.

4. Knobloch H.W., Pohl M. On Riccati matrix differential equations // Results in Mathematics. 1997. Vol. 31. No. 3-4. Pp. 337-364. DOI: 10.1007/BF03322169

5. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.

6. Фетисов Д.А. Об одном методе решения терминальных задач для аффинных систем // Наука и образование МГТУ им. Н.Э. Баумана: электрон. журн. 2013. № 11. С. 383-400. DOI: 10.7463/1113.0622543

7. Фетисов Д.А. Решение терминальных задач для многомерных аффинных систем на основе преобразования к квазиканоническому виду // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2014. № 5. С. 16-31.

8. Apostol T.M. Explicit formulas for solutions of the second-order matrix differential equation Y''+AY // Amer. Math. Monthly. 1975. Vol. 82. No. 2. Pp. 159-162. DOI: 10.2307/2319663

9. Ruiz-Claeyssen J.C., Tsukazan T. Dynamic solutions of linear matrix differential equations // Quarterly of Applied Mathematics. 1990. Vol. 48. No. 1. Pp. 169-179. DOI: 10.1090/qam/1040240

10. Verde-Star L. Operator identities and the solution of linear matrix difference and differential equations // Studies in Applied Mathematics. 1994. Vol. 91. No. 2. Pp.153-177. DOI: 10.1002/sapm1994912153

11. Verde-Star L. Solution of linear differential equations by the method of divided differences // Advances in Applied Mathematics. 1995. Vol. 16. No. 4. Pp. 484-508. DOI: 10.1006/aama.1995.1023

12. Verde-Star L. On linear matrix differential equations // Advances in Applied Mathematics. 2007. Vol. 39. No. 3. Pp. 329-344. DOI: 10.1016/j.aam.2006.06.002

13. Ben Taher R., Rachidi M. Linear matrix differential equations of higher-order and applications // Electronic J. of Differential Equations. 2008. Vol. 2008. No. 95. Pp. 1-12. Режим доступа: http://ejde.math.unt.edu/Volumes/2008/95/bentaher.pdf (дата обращения 03.12.2019).

14. Деревенский В.П. Матричные линейные дифференциальные уравнения высших порядков // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. № 4. С. 711–714.

15. Деревенский В.П. Матричные двусторонние линейные дифференциальные уравнения // Математические заметки. 1994. Т. 55. № 1. С. 35–42.

16. Деревенский В.П. Матричные линейные дифференциальные уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 11. С. 1925–1926.

17. Деревенский В.П. Системы матричных линейных дифференциальных уравнений первого порядка // Математические заметки. 1999. Т. 66. № 1. С. 63–75. DOI: 10.4213/mzm1142

18. Деревенский В.П. Матричные дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными // Изв. высш. учеб. заведений. Сер. Математика. 2010. № 7. С.43–55.

19. Фетисов Д.А. К вопросу о симметричности решений линейных матричных дифференциальных уравнений // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2016. № 3. С.16-26. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-3-16-26

20. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с. [Hartman Ph. Ordinary differential equations. N.Y.: Wiley, [1964]. 612 p.].


Для цитирования:


Фетисов Д.А. О симметричных решениях линейных нестационарных матричных дифференциальных уравнений. Математика и математическое моделирование. 2019;(5):15-31. https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000202

For citation:


Fetisov D.A. On Symmetric Solutions of Linear Time-Varying Matrix Differential Equations. Mathematics and Mathematical Modeling. 2019;(5):15-31. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000202

Просмотров: 67


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)