Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Приближенные симметрии и законы сохранения дробно-дифференциального обобщения уравнения Бюргерса

https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000197

Полный текст:

Аннотация

Классическое уравнение Бюргерса хорошо исследовано и часто используется в задачах гидродинамики и нелинейной акустики. В последние годы наблюдается значительный рост интереса к математическим моделям, учитывающих эффект степенной памяти среды. Такие модели описываются уравнениями, в которых производная по времени заменена на производную дробного порядка.

Объектом исследования является обобщенное уравнения Бюргерса с дробной производной Римана-Лиувилля по времени. Влияние памяти среды предполагается малым, поэтому из порядка дробного дифференцирования выделяется малый параметр, по которому выполняется разложение в ряд дробной производной. В результате исходное дробно-дифференциальное обобщение уравнения Бюргерса приближается уравнением с малым параметром. Целью работы является исследование симметрийных свойств такого дифференциального уравнения в частных производных с малым параметром и построение законов сохранения для него. Для достижения цели используются методы современного группового анализа, а также широко известные методы интегрирования систем и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Проведена групповая классификация исследуемого уравнения по функции, стоящей при первой производной по пространственной переменной. Показано, что если эта функция произвольного вида, то допускаемая приближенная группа точечных преобразований является трехпараметрической. Если функция степенная или линейная, то допускаемая приближенная группа точечных преобразований расширяется до пяти- и семипараметрической, соответственно. Построены примеры приближенно инвариантных решений для некоторых допускаемых операторов.

Доказано, что исследуемое уравнение с малым параметром является приближенно нелинейно самосопряженным. На основе принципа нелинейной самосопряженности для каждого оператора группы построены законы сохранения. Показано, что все законы сохранения являются либо тривиальными, либо имеют вид исходного уравнения.

Результаты развивают теорию приближенных групп преобразований для дробно-дифференциальных уравнений. Найденные симметрии могут быть использованы для построения приближенных инвариантных решений рассматриваемого уравнения.

Об авторах

В. О. Лукащук
Уфимский государственный авиационный технический университет, Уфа
Россия

Лукащук Вероника Олеговна

доцент кафедры Высокопроизводительных вычислительных технологий и систем ФГБОУ ВО Уфимский государственный авиационный технический университет, SPIN-код: 4780-8730



Л. О. Гаврюшина
Уфимский государственный нефтяной технический университет, Уфа
Россия
Гаврюшина Любовь Олеговна


Список литературы

1. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Advances in Applied Mechanics. 1948. Vol. 1. Pp. 171–199. DOI: 10.1016/s0065-2156(08)70100-5

2. Su C.H., Gardner C.S. Korteweg‐de Vries equation and generalizations. III. Derivation of the Korteweg‐de Vries equation and Burgers equation // J. of Mathematical Physics. 1969. Vol. 10. No. 3. Pp. 536–538. DOI: 10.1063/1.1664873

3. Уизем Дж.Б. Линейные и нелинейные волны: пер. с англ. М.: Мир, 1977. 622 с. [Whitham G.B. Linear and nonlinear waves. N.Y.: Wiley, [1974]. 636 p.].

4. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн: учеб. пособие. М.: Наука, 1979. 383 с.

5. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. Amst.; Boston: Elsevier, 2006. 523 p.

6. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

7. Tarasov V. E., Zaslavsky G. M. Dynamics with low-level fractionality // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2006. Vol. 368. No. 2. Pp. 399–415. DOI: 10.1016/j.physa.2005.12.015

8. Tofighi A., Golestani A. A perturbative study of fractional relaxation phenomena // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2008. Vol. 387. No. 8–9. Pp. 1807–1817. DOI: 10.1016/j.physa.2007.11.046

9. Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования: учебник: пер. с англ.. 2-е изд. М.: Физматлит, 2012. 332 c. [Ibragimov N.Kh. A practical course in differential equations and mathematical modelling: a textbook. [Hackensack]: World Scientific; Beijing: Higher Education Press, 2010. 348 p.].

10. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations / Ed. by N.Kh. Ibragimov. Vol. 1: Symmetries, exact solutions and conservation laws. Boca Raton: CRC Press, 1994. 442 p.

11. Газизов Р.К., Касаткин А.А., Лукащук С.Ю. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник Уфимского гос. авиацион. техн. ун-та (УГАТУ). 2007. Т. 9. № 3(21). С. 125–135. Режим доступа: http://journal.ugatu.ac.ru/index.php/Vestnik/article/view/2347 (дата обращения 9.01.2020).

12. Gazizov R.K., Kasatkin A.A., Lukashchuk S.Yu. Symmetry properties of fractional diffusion equations // Physica Scripta. 2009. Vol. T136. 014016 (5 p.). DOI: 10.1088/0031-8949/2009/T136/014016

13. Лукащук С.Ю. Групповая классификация одного нелинейного приближенного уравнения субдиффузии // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-матем. науки. 2016. Т. 20. № 4. С. 603–619. DOI: 10.14498/vsgtu1520

14. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 687 c.

15. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Методы возмущений в групповом анализе // Итоги науки и техники. Сер.: Современные проблемы математики. Новые достижения. 1989. Т. 34. С. 85–147.

16. Ibragimov N. Kh. Nonlinear self-adjointness in constructing conservation laws // Archives of ALGA. 2010-2011. Vol. 7/8. Pp. 1–99.

17. Lukashchuk S.Yu. Approximate conservation laws for fractional differential equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019. Vol. 68. Рp. 147–159. DOI: 10.1016/j.cnsns.2018.08.011


Для цитирования:


Лукащук В.О., Гаврюшина Л.О. Приближенные симметрии и законы сохранения дробно-дифференциального обобщения уравнения Бюргерса. Математика и математическое моделирование. 2019;(5):1-14. https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000197

For citation:


Lukashchuk V.O., Gavryushina L.O. Approximate Symmetries and Conservation Laws of Fractional Differential Generalization of the Burgers Equation. Mathematics and Mathematical Modeling. 2019;(5):1-14. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000197

Просмотров: 108


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)