Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Линейные дифференциальные операторы, обратимые в интегро-дифференциальном смысле

https://doi.org/10.24108/mathm.0419.0000195

Полный текст:

Аннотация

В работе рассматриваются линейные дифференциальные операторы с производными по одной переменной. К таким операторам относятся, в частности, операторы, определенные на бесконечных продолжениях эволюционных систем дифференциальных уравнений с одной пространственной переменной. В этом случае рассматриваются операторы в полных производных по пространственной переменной. Параллельно исследуются линейные дифференциальные операторы с одной независимой переменой. На матрицы операторов того и другого типа обобщаются известные алгоритмы приведения матрицы к ступенчатому или диагональному виду. Данные обобщения применимы в точках, где отличны от нуля функции, на которые делятся компоненты матрицы в процессе применения алгоритма.

Кроме того, определяется интегральный оператор как многозначный оператор, обратный справа к полной производной. Линейные операторы, которые включают в себя как полные производные, так и интегральный оператор, называются интегро-дифференциальными. Обратимый оператор в интегро-дифференциальном смысле - это оператор, для которого существует двусторонне обратный интегро-дифференциальный оператор. Получено описание скалярных дифференциальных операторов, обратимых в этом смысле. Сформулирован алгоритм проверки обратимости в интегро-дифференциальном смысле дифференциального оператора и построения обратного интегро-дифференциального оператора.

Результаты работы могут быть использованы для решения линейных уравнений на матричные дифференциальные операторы, возникающие в теории эволюционных систем с одной пространственной переменной. Такие операторные уравнения возникают при описании систем, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, при вычислении операторов рекурсии, высших симметрий, законов сохранения и симплектических операторов, а также при решении некоторых других задач. Предлагаемый метод решения операторных уравнений основан на приведении матриц, определяющих операторное уравнение, к ступенчатому или диагональному виду и решении получающихся скалярных операторных уравнений.

Об авторе

В. Н. Четвериков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия
Четвериков Владимир Николаевич


Список литературы

1. Magri F. A short introduction to Hamiltonian PDEs // Matematica Contemporanea. 1998. Vol. 15. Pp. 213–230.

2. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А.В. Бочаров и др.; под ред. А.М. Виноградова и И.С. Красильщика. 2-е изд. М.: Факториал, 2005. 380 с.

3. Krasil'shchik I.S, Verbovetsky A.M. Geometry of jet spaces and integrable systems // J. of Geometry and Physics. 2011. Vol. 61, № 9. Pp. 1633–1674. DOI: 10.1016/j.geomphys.2010.10.012

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 5-е изд. М.: Физматлит, 2004. 560 с.

5. Кон П. Свободные кольца и их связи: пер. с англ. М.: Мир, 1975. 422 с. [Cohn P.M. Free rings and their relations. L.; N.Y.: Academic Press, 1971. 346 p.]

6. Четвериков В.Н. Классификация и конструирование обратимых линейных дифференциальных операторов на одномерном многообразии // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 7. С. 105–127. DOI: 10.7463/0714.0718107

7. Четвериков В.Н. Классификация и конструирование обобщенных обратимых дифференциальных операторов с одной независимой переменной // Математика и математическое моделирование. 2015. № 4. С. 13–40. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812952.

8. Четвериков В.Н. Анализ и синтез обобщенных обратимых дифференциальных операторов с одной независимой переменной // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51, № 11. С. 1534–1544. DOI: 10.1134/S037406411511014X

9. Chetverikov V.N. Invertible linear ordinary differential operators // J. of Geometry and Physics. 2017. Vol. 113. Pp. 10–27. DOI: 10.1016/j.geomphys.2016.06.014

10. Четвериков В.Н. Представление обратимых линейных обыкновенных дифференциальных операторов в виде композиции простейших операторов // Математика и математическое моделирование. 2018. № 4. С. 45–61. DOI: 10.24108/mathm.0418.0000138

11. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства: пер. с англ. М.: Мир, 1970. 442 с. [Husemoller D. Fibre Bundles. N.Y.: McGraw Hill Publ., 1966. 350 p.].


Для цитирования:


Четвериков В.Н. Линейные дифференциальные операторы, обратимые в интегро-дифференциальном смысле. Математика и математическое моделирование. 2019;(4):20-33. https://doi.org/10.24108/mathm.0419.0000195

For citation:


Chetverikov V.N. Linear Differential Operators Invertible in the Integro-differential Sense. Mathematics and Mathematical Modeling. 2019;(4):20-33. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0419.0000195

Просмотров: 178


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)