О приближении значений некоторых гипергеометрических функций специального вида с иррациональными параметрами

Аннотация

В работе изучается арифметическая природа значений обобщенных гипергеометрических функций и их производных. Для решения такой задачи часто используют метод Зигеля. Первым шагом соответствующего рассуждения является построение с помощью принципа Дирихле функциональной линейной приближающей формы, имеющей высокий порядок нуля в начале координат.

Гипергеометрическая функция задается в виде суммы степенного ряда, коэффициентами которого являются произведения значений некоторой рациональной функции. Взятые с противоположным знаком нули числителя и знаменателя этой рациональной функции называются параметрами соответствующей обобщенной гипергеометрической функции. Если параметры иррациональны, то применить метод Зигеля, как правило, не удается. В этом случае применяют метод, основанный на эффективном построении линейной приближающей формы.

Дополнительные трудности возникают в случае, когда отличен от тождественной единицы числитель рациональной функции, участвующей в формировании коэффициентов рассматриваемой гипергеометрической функции. В этой ситуации даже наличие эффективной конструкции приближающей формы еще не гарантирует возможность получения арифметического результата. В данной работе рассматривается именно такой случай. Для преодоления возникающих здесь трудностей значения соответствующей гипергеометрической функции и ее производных берутся лишь в малых точках, а на параметры функции наложены дополнительные ограничения.