Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Дробно-дифференциальная модель процесса теплопроводности сегнетоэлектрических материалов в условиях интенсивного нагрева

https://doi.org/10.24108/mathm.0219.0000185

Полный текст:

Аннотация

Сегнетоэлектрические материалы по ряду характеристик ведут себя как эредитарные среды с фрактальной структурой. Для математического моделирования систем с эффектом памяти используют дробную производную по времени. Пироэлектрические свойства сегнетоэлектриков обуславливают интерес к развитию дробно-дифференциального подхода к моделированию процесса теплопроводности.

Работа посвящена разработке и численной реализации фрактальной модели процесса теплопроводности эредитарных сред на основе концепций дробно-дифференциального исчисления в приложении к описанию процессов интенсивного нагрева сегнетоэлектрических материалов.

Предложена математическая модель процесса теплопроводности, формализованная с помощью смешанной начально-граничной задачи для уравнения с частными производными, включающего производную дробного порядка по времени и нелинейную зависимость теплоемкости от температуры. Сконструирован вычислительный алгоритм решения задачи на основе аналога конечно-разностной схемы Кранка – Николсон с использованием формулы Грюнвальда – Летникова для аппроксимации производной дробного порядка по времени. Аппроксимация граничного условия Неймана учитывается в модифицированных уравнениях при переходе от дифференциальной задачи к конечно-разностной на основе введения фиктивных узлов сетки. Итоговая система линейных алгебраических уравнений решается методом прогонки.

Разработана прикладная программа, позволяющая проводить компьютерное моделирование процесса теплопроводности для эредитарных сред в одной из частных постановок. Проведена проверка адекватности результатов численного моделирования на тест-задаче. Результаты компьютерного моделирования продемонстрированы для прикладной задачи – оценки температурного распределения в образце типичного сегнетоэлектрика триглицинсульфата при интенсивном, по отношению к температуре фазового перехода, тепловом нагреве. Приближенно оценен порядок дробного дифференцирования (~0.7) на основе сравнения результатов реализации фрактальной модели (при варьировании данного параметра) с экспериментальными данными по оценке времени достижения температуры Кюри. Это свидетельствует о необходимости использования модифицированных моделей при анализе полевых эффектов, возникающих в эредитарных средах.

Об авторах

Л. И. Мороз
Амурский государственный университет, Благовещенск
Россия

Мороз Любовь Игоревна

Старший преподаватель и аспирант кафедры математического анализа и моделирования, факультет математики и информатики



А. Г. Масловская
Амурский государственный университет, Благовещенск
Россия

Масловская Анна Геннадьевна

Профессор кафедры математического анализа и моделирования, факультет математики и информатики, д-р физ.-мат. наук, доцент



Список литературы

1. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы: учеб. пособие. М.; Ижевск: Регуляр. и хаот. динамика, 2001. 128 с.

2. Podlubny I. Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications. San Diego: Academic Press, 1999. 340 p.

3. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 271 с.

4. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

5. Luchko Yu. Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized time-fractional diffusion equation // Computers and Mathematics with Applications. 2010. Vol. 59. No. 5. Pp. 1766–1772. DOI: 10.1016/j.camwa.2009.08.015

6. Kemppainen J.T. Existence and uniqueness of the solution for a time-fractional diffusion equation with Robin boundary condition // Abstract and Applied Analysis. 2011. Article ID 321903. 11 p. DOI: 10.1155/2011/321903

7. Zhou Yong. Basic theory of fractional differential equations. New Jersey: World Scientific, [2014]. 293 p.

8. Журавков М.А., Романова Н.С. О перспективах использования теории дробного исчисления в механике. Минск: Изд-во БГУ, 2013. 53 с.

9. Корчагина А.Н. Использование производных дробного порядка для решения задач механики сплошных сред // Изв. Алтайского гос. ун-та. 2014. T. 1. № 1(81). С. 65–67. DOI: 10.14258/izvasu(2014)1.1-14

10. Учайкин В.В., Сибатов Р.Т. Дробно-дифференциальная кинетика дисперсионного переноса как следствие его автомодельности // Письма в ЖЭТФ. 2007. Т. 86. Вып. 8. С. 584–588.

11. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 4. С. 660–670.

12. Ревизников Д.Л., Сластушенский Ю.В. Численное моделирование аномальной диффузии бильярдного газа в полигональном канале // Математическое моделирование. 2013. № 5. С. 3–14.

13. Овсиенко А.С. Идентификация параметров процесса аномальной диффузии на основе разностных уравнений // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18. № 1. С. 65–73.

14. Бабенко Ю.И. Метод дробного дифференцирования в прикладных задачах теории тепломассобмена. СПб.: Профессионал, 2009. 584 с.

15. Sierociuk D., Dzielinski A., Sarwas G., Petras I., Podlubny I., Skovranek T. Modelling heat transfer in heterogeneous media using fractional calculus // Philosophical Trans. of the Royal Soc. A: Mathematical Physical and Engineering Sciences. 2013. Vol. 371. No. 1990. Article ID 20120146. 10 p. DOI: 10.1098/rsta.2012.0146

16. Zecová M., Terpák J. Heat conduction modeling by using fractional-order derivatives // Applied Mathematics and Computation. 2015. Vol. 257. Pp. 365–373. DOI: 10.1016/j.amc.2014.12.136

17. Петухов А.А., Ревизников Д.Л. Алгоритмы численного решения дробно-дифференциальных уравнений // Вестник МАИ. 2009. Т. 16. № 6. С. 228–234.

18. Al-Shibani F.S., Ismail A.I.Md., Abdullah F.A. Compact finite difference methods for the solution of one dimensional anomalous sub-diffusion equation // General Mathematical Notes. 2013. Vol. 18. No. 2. Pp. 104–119.

19. Mahdy A.M.S., Khader M.M., Sweilam N.H. Сrank-Nicolson finite difference method for solving time-fractional diffusion equation // J. of Fractional Calculus and Applications. 2012. Vol. 2. No. 2. Pp. 1–9.

20. Ali U., Abdullah F.A., Ismail A.I. Crank-Nicolson finite difference method for two-dimensional fractional sub-diffusion equation // J. of Interpolation and Approximation in Scientific Computing. 2017. No. 2. Pp. 18–29. DOI: 10.5899/2017/jiasc-00117

21. Sontakke B.R., Shelke A.S. Approximate scheme for time fractional diffusion equation and its applications // Global J. of Pure and Applied Mathematics. 2017. Vol. 13. No. 8. Pp. 4333–4345.

22. Scherer R., Kalla S.L., Yifa Tang, Jianfei Huang. The Grünwald-Letnikov method for fractional differential equations // Computers & Mathematics with Applications. 2011. Vol. 62. No. 3. Pp. 902–917. DOI: 10.1016/j.camwa.2011.03.054

23. Galiyarova N.M., Bey A.B., Kuznetzov E.A., Korchmariyuk Ia.I. Fractal dimensionalities and microstructure parameters of piezoceramic PZTNB-1 // Ferroelectrics. 2004. Vol. 307. No. 1. Pp. 205–211. DOI: 10.1080/00150190490492970

24. Roy M.K., Paul J., Dattagupta S. Domain dynamics and fractal growth analysis in thin ferroelectric films // J. of Applied Physics. 2010. Vol. 108. No. 1. Article ID 014108. DOI: 10.1063/1.3456505

25. Мейланов Р.П., Садыков С.А. Фрактальная модель кинетики переключения поляризации в сегнетоэлектриках // Журнал технической физики. 1999. Т. 69. № 5. С. 128–129.

26. Maslovskaya A.G., Barabash T.K. Fractal model of polarization switching kinetics in ferroelectrics under nonequilibrium conditions of electron irradiation // J. of Physics: Conf. Ser. 2018. Vol. 973. No. 1. Pp. 012038–012049. DOI: 10.1088/1742-6596/973/1/012038

27. Bin Zhang. Model for coupled ferroelectric hysteresis using time fractional operators: Application to innovative energy harvesting. Doct. diss. Lyon, 2014. 95 p.

28. Lines M.E, Glass A.M. Principles and applications of ferroelectrics and related materials. Oxford: Clarendon Press; N.Y.: Oxford Univ. Press, 2001. 680 p.

29. Масловская А.Г. Моделирование взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектриками: дис. … канд. физ.-мат. наук. Благовещенск, 2004. 174 с.

30. Malyshkina O.V., Movchikova A.A., Grechishkin R.M., Kalugina O.N. Use of the thermal square wave method to analyze polarization state in ferroelectric materials // Ferroelectrics. 2010. Vol. 400. No. 1. Pp. 63–75. DOI: 10.1080/00150193.2010.505470

31. Струков Б.А., Рагула Е.П., Архангельская С.В., Шнайдшейн И.В. О логарифмической сингулярности теплоемкости вблизи фазовых переходов в одноосных сегнетоэлектриках // Физика твердого тела. 1998. Т. 40. № 1. С. 106–108.


Для цитирования:


Мороз Л.И., Масловская А.Г. Дробно-дифференциальная модель процесса теплопроводности сегнетоэлектрических материалов в условиях интенсивного нагрева. Математика и математическое моделирование. 2019;(2):29-47. https://doi.org/10.24108/mathm.0219.0000185

For citation:


Moroz L.I., Maslovskaya A.G. Fractional-Differential Model of Heat Conductivity Process in Ferroelectrics under the Intensive Heating Conditions. Mathematics and Mathematical Modeling. 2019;(2):29-47. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0219.0000185

Просмотров: 37


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)