Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

О линейной независимости некоторых функций

https://doi.org/10.24108/mathm.0119.0000179

Полный текст:

Аннотация

Для исследования арифметической природы значений гипергеометрических функций (а также их производных, включая производные по параметру) обычно используют либо метод Зигеля, либо метод, основанный на эффективном построении линейной приближающей формы. Основное различие между этими методами заключается в способе построения первой  приближающей формы. Применяя метод Зигеля, такую форму строят с помощью принципа Дирихле, что позволяет в ряде случаев установить алгебраическую независимость значений соответствующих функций. Метод Зигеля обычно удается применить лишь при рассмотрении гипергеометрических функций с рациональными параметрами. Здесь эффективный метод имеет некоторое преимущество, т.к. в ряде случаев с его помощью можно провести соответствующее исследование и для функций, параметры которых иррациональны. Другим достоинством эффективного метода является высокая точность получаемых с его помощью количественных результатов. Под такими результатами понимаются обычно оценки снизу модулей линейных форм от значений соответствующих функций. С помощью эффективного метода удалось в некоторых случаях получить точные по высоте оценки таких форм с вычислением соответствующих констант. К числу недостатков эффективного метода следует отнести ограниченные возможности его применения. Эффективное построение линейной приближающей формы, с которой начинается рассуждение, всегда является достаточно трудной задачей. Эффективно построить приближающую форму для произведений степеней гипергеометрических функций пока не удается (за редкими исключениями).

В обоих методах предварительно доказывается линейная (в методе Зигеля --- чаще алгебраическая) независимость исследуемых функций. Нередко такое доказательство рассматривается как самостоятельный результат.

В данной статье с помощью метода, специально разработанного для этой цели, устанавливается линейная независимость некоторых гипергеометрических функций  и их производных (в том числе и по параметру) над полем рациональных дробей. В дальнейшем этот результат можно будет использовать для изучения арифметической природы значений указанных функций. При этом предполагается использование эффективного метода с получением достаточно точного количественного результата.

Об авторе

П. Л. Иванков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия
Иванков Павел Леонидович


Список литературы

1. Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых Е-функций // Вестник МГУ. Сер. 1: Математика, механика. 1967. № 2. С. 55-62.

2. Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций одного класса // Сибирский матем. журнал. 1973. Т. 14. № 1. С. 16-35.

3. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых функций некоторых классов // Математика. Т. IX. Уч. зап. Моск. гос. ун-та. 1959. Вып. 186. С. 11-70.

4. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых функций // Тр. Моск. матем. общества. 1959. Т. 8. С. 283-320.

5. Mahler K. Applications of a theorem by A.B.Shidlovski // Proc. of the Royal Soc. of London. Ser. A: Mathematical and Physical Sciences. 1968. Vol. 305. No. 1481. Pp. 149-173. DOI: 10.1098/rspa.1968.0111

6. Väänänen K. On the algebraic independence of the values of some E-functions // Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Ser. A. Mathematica. 1975. Vol. 1. Pp. 93-109.

7. Иванков П.Л. О линейной независимости некоторых функций // Чебышевский сб. 2010. Т. 11. Вып. 1. С. 145-151.

8. Иванков П.Л. О линейной независимости некоторых функций над полем рациональных дробей // Математика и математическое моделирование. 2015. № 4. С. 1-12. DOI: 10.7463/mathm.0415.0817328

9. Иванков П.Л. О дифференцировании по параметру некоторых функций // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 5. С. 141-156. DOI: 10.7463/0512.0398478

10. Иванков П.Л. Об использовании совместных приближений для изучения арифметической природы значений гипергеометрических функций // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 12. С. 135-142. DOI: 10.7463/1212.0500464

11. Иванков П.Л. Уточнение некоторых оценок для значений гипергеометрических функций // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 4. С. 175-186. DOI: 10.7463/0414.0704694

12. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций: В 2 т. 2-е изд. Т. 1: Начала теории. М.: Наука, 1967. 486 с.

13. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 447 с.

14. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New advances in transcendence theory / Ed. by A. Baker. Camb.: Camb. Univ. Press, 1988. Pp. 207-215. DOI: 10.1017/CBO9780511897184.013

15. Galochkin A.I. Linear independence and transcendence of values of hypergeometric functions // Moscow J. of Combinatorics and Number Theory. 2011. Vol. 1, no. 2. Pp. 27-32.


Для цитирования:


Иванков П.Л. О линейной независимости некоторых функций. Математика и математическое моделирование. 2019;(1):27-35. https://doi.org/10.24108/mathm.0119.0000179

For citation:


Ivankov P.L. On Linear Independence of Some Functions. Mathematics and Mathematical Modeling. 2019;(1):27-35. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0119.0000179

Просмотров: 56


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)