Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Решение задачи о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости

https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000149

Полный текст:

Аннотация

В работе решается краевая задача о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости. Уравнение Лаврентьева – Бицадзе является уравнением смешанного (эллиптико – гиперболического) типа. Уравнения смешанного типа возникают при решении многих задач прикладного характера (например, при моделировании околозвуковых течений сжимаемой среды).

В работе областью эллиптичности является полуплоскость, а областью гиперболичности – примыкающая к ней полоса. На одной из прямых, ограничивающих полосу, задана наклонная производная (в направлении, образующим острый угол с этой прямой), а на другой прямой – границе раздела полосы и полуплоскости – решения сопрягаются краевыми условиями четвертого рода. В полосе гиперболичности решение представлено формулой Даламбера, а в полуплоскости, где уравнение является эллиптическим, ограниченное решение представлено интегралом Пуассона с неизвестной плотностью. Для этой неизвестной плотности интеграла Пуассона получено сингулярное интегральное уравнение, которое сведено к краевой задаче Римана со сдвигом для голоморфных функций. Решение задачи Римана сведено к решению двух функциональных уравнений. Решения этих функциональных уравнений и формулы Сохоцкого для интеграла типа Коши позволили найти неизвестную плотность интеграла Пуассона. А это позволило найти решение задачи о наклонной производной в виде суммы функционального ряда (с точностью до произвольного постоянного слагаемого).

Об авторе

А. В. Копаев
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия

Копаев Анатолий Владимирович

доцент кафедры "Высшая математика"



Список литературы

1. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. МИАН СССР. 1953. Т. 41. С. 3–59. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/5d1c1eebdcdf52b9229df55c10eca823/tm1177.pdf (дата обращения 5.12.2018).

2. Моисеев Е.И. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. № 2. С. 325–338. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/a5e9d0e59c9822672ab22cd6b3760cca/de4197.pdf (дата обращения 5.12.2018).

3. Митюшев В.В. Решение одной задачи с нелокальными условиями для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 8. С. 1461–1463. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/912caa027706c9cda80905a0fc557eca/de7897.pdf (дата обращения 5.12.2018).

4. Моисеев Е.И., Зарубин А.Н. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 9. С. 1212–1215.

5. Солдатов А.П. О задачах типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. 2012. Т. 278. С. 242–249. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/d60b8ad0f959a6d3ec91478b0388fe8c/tm3402.pdf (дата обращения 6.12.2018).

6. Моисеев Е.И., Моисеев Т.Е., Вафодорова Г.О. Об интегральном представлении задачи Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 8. С. 1070-1075. DOI: 10.1134/S0374064115080105

7. Сабитов К.Б., Новикова В.А. Нелокальная задача А.А. Дезина для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2016. № 6. С. 61–72. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/ca57f1ed070d7a3e0f6093a516181123/ivm9124.pdf (дата обращения 6.12.2018).

8. Алгазин О.Д., Копаев А.В. К задаче о наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в полуплоскости // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 2. С. 1–8. DOI: 10.7463/mathm.0216.0843737

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3-е изд. М.: Наука, 1977. 640 с.

10. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. 448 с.


Для цитирования:


Копаев А.В. Решение задачи о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости. Математика и математическое моделирование. 2018;(6):1-10. https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000149

For citation:


Kopaev A.V. Oblique Derivative Problem Solution for the Lavrentyev-Bitsadze Equation in a Half-Plane. Mathematics and Mathematical Modeling. 2018;(6):1-10. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000149

Просмотров: 64


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)