Решение задачи о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости
Аннотация
В работе решается краевая задача о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости. Уравнение Лаврентьева – Бицадзе является уравнением смешанного (эллиптико – гиперболического) типа. Уравнения смешанного типа возникают при решении многих задач прикладного характера (например, при моделировании околозвуковых течений сжимаемой среды).
В работе областью эллиптичности является полуплоскость, а областью гиперболичности – примыкающая к ней полоса. На одной из прямых, ограничивающих полосу, задана наклонная производная (в направлении, образующим острый угол с этой прямой), а на другой прямой – границе раздела полосы и полуплоскости – решения сопрягаются краевыми условиями четвертого рода. В полосе гиперболичности решение представлено формулой Даламбера, а в полуплоскости, где уравнение является эллиптическим, ограниченное решение представлено интегралом Пуассона с неизвестной плотностью. Для этой неизвестной плотности интеграла Пуассона получено сингулярное интегральное уравнение, которое сведено к краевой задаче Римана со сдвигом для голоморфных функций. Решение задачи Римана сведено к решению двух функциональных уравнений. Решения этих функциональных уравнений и формулы Сохоцкого для интеграла типа Коши позволили найти неизвестную плотность интеграла Пуассона. А это позволило найти решение задачи о наклонной производной в виде суммы функционального ряда (с точностью до произвольного постоянного слагаемого).
Об авторе
А. В. КопаевРоссия
Копаев Анатолий Владимирович
доцент кафедры "Высшая математика"
Список литературы
1. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. МИАН СССР. 1953. Т. 41. С. 3–59. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/5d1c1eebdcdf52b9229df55c10eca823/tm1177.pdf (дата обращения 5.12.2018).
2. Моисеев Е.И. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. № 2. С. 325–338. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/a5e9d0e59c9822672ab22cd6b3760cca/de4197.pdf (дата обращения 5.12.2018).
3. Митюшев В.В. Решение одной задачи с нелокальными условиями для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 8. С. 1461–1463. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/912caa027706c9cda80905a0fc557eca/de7897.pdf (дата обращения 5.12.2018).
4. Моисеев Е.И., Зарубин А.Н. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 9. С. 1212–1215.
5. Солдатов А.П. О задачах типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. 2012. Т. 278. С. 242–249. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/d60b8ad0f959a6d3ec91478b0388fe8c/tm3402.pdf (дата обращения 6.12.2018).
6. Моисеев Е.И., Моисеев Т.Е., Вафодорова Г.О. Об интегральном представлении задачи Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 8. С. 1070-1075. DOI: 10.1134/S0374064115080105
7. Сабитов К.Б., Новикова В.А. Нелокальная задача А.А. Дезина для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2016. № 6. С. 61–72. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/ca57f1ed070d7a3e0f6093a516181123/ivm9124.pdf (дата обращения 6.12.2018).
8. Алгазин О.Д., Копаев А.В. К задаче о наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в полуплоскости // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 2. С. 1–8. DOI: 10.7463/mathm.0216.0843737
9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3-е изд. М.: Наука, 1977. 640 с.
10. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. 448 с.
Рецензия
Для цитирования:
Копаев А.В. Решение задачи о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости. Математика и математическое моделирование. 2018;(6):1-10. https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000149
For citation:
Kopaev A.V. Oblique Derivative Problem Solution for the Lavrentyev-Bitsadze Equation in a Half-Plane. Mathematics and Mathematical Modeling. 2018;(6):1-10. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000149