Решение задачи о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости

Аннотация

В работе решается краевая задача о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости. Уравнение Лаврентьева – Бицадзе является уравнением смешанного (эллиптико – гиперболического) типа. Уравнения смешанного типа возникают при решении многих задач прикладного характера (например, при моделировании околозвуковых течений сжимаемой среды).

В работе областью эллиптичности является полуплоскость, а областью гиперболичности – примыкающая к ней полоса. На одной из прямых, ограничивающих полосу, задана наклонная производная (в направлении, образующим острый угол с этой прямой), а на другой прямой – границе раздела полосы и полуплоскости – решения сопрягаются краевыми условиями четвертого рода. В полосе гиперболичности решение представлено формулой Даламбера, а в полуплоскости, где уравнение является эллиптическим, ограниченное решение представлено интегралом Пуассона с неизвестной плотностью. Для этой неизвестной плотности интеграла Пуассона получено сингулярное интегральное уравнение, которое сведено к краевой задаче Римана со сдвигом для голоморфных функций. Решение задачи Римана сведено к решению двух функциональных уравнений. Решения этих функциональных уравнений и формулы Сохоцкого для интеграла типа Коши позволили найти неизвестную плотность интеграла Пуассона. А это позволило найти решение задачи о наклонной производной в виде суммы функционального ряда (с точностью до произвольного постоянного слагаемого).