Журналов:     Статей:        

Математика и математическое моделирование. 2018; : 45-61

Представление обратимых линейных обыкновенных дифференциальных операторов в виде композиции простейших операторов

Четвериков В. Н.

https://doi.org/10.24108/mathm.0418.0000138

Аннотация

Данная статья продолжает серию работ, посвященных описанию обратимых обыкновенных дифференциальных операторов и их обобщений. Обобщения представляют собой обратимые отображения фильтрованных модулей, порожденных одним дифференцированием, и называются обратимыми D-операторами. Такими операторами являются, в частности, обратимые обыкновенные линейные дифференциальные операторы, обратимые линейные разностные операторы с периодическими коэффициентами, отображения, определенные унимодулярными матрицами, а также С-преобразования систем с управлением. С-Преобразованиями называются такие обратимые преобразования, при которых переменные одной системы выражаются через переменные другой системы и их производные.
Рассматриваются обратимые D-операторы, обратные к которым являются D-операторами того же типа. В предыдущих работах была получена классификация обратимых D-операторов. А именно, каждому обратимому D-оператору была сопоставлена таблица чисел. Эти таблицы были описаны на наглядном элементарно-геометрическом языке. Таким образом, обратимому D-оператору ставится в соответствие элементарно-геометрическая модель, которая называется d-схемой квадратов. Класс обратимых D-операторов, имеющих одну и ту же d-схему, был также описан.
В данной работе обратимые D-операторы, d-схемы которых состоят из одного квадрата, названы одноклеточными. Доказывается, что любой одноклеточный оператор в некоторых базисах задается верхней треугольной матрицей, отличающейся от единичной матрицы только первой строкой. Основным результатом работы является представление произвольного обратимого D-оператора в виде композиции одноклеточных операторов. Минимальное количество одноклеточных операторов в такой композиции равно количеству квадратов d-схемы исходного D-оператора. Как и в предыдущих работах, применяемый метод основан на описании d-схем на языке спектральных последовательностей алгебраических комплексов.
Полученные результаты могут быть полезны при преобразовании и классификация систем с управлением, в частности, для описания плоских систем.

Список литературы

1. Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными: пер. с англ. М.: Мир, 1990. 536 с. [Gromov M. Partial differential relations. B.; N.Y.: Springer, 1986. 363 p.].

2. Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 336 с.

3. Четвериков В.Н. Метод линеаризации для решения задач плоскостности и поиска оператора совместности // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 10. С. 1405-1415.

4. Четвериков В.Н. Классификация и конструирование обратимых линейных дифференциальных операторов на одномерном многообразии // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана: Электрон. журн. 2014. № 7. С. 105-127. DOI: 10.7463/0714.0718107

5. Четвериков В.Н. Классификация и конструирование обобщенных обратимых дифференциальных операторов с одной независимой переменной // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 4. С. 13-40. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812952

6. Четвериков В.Н. Анализ и синтез обобщенных обратимых дифференциальных операторов с одной независимой переменной // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 11. С. 1534-1544. DOI: 10.1134/S037406411511014X

7. Chetverikov V.N. Invertible linear ordinary differential operators // J. of Geometry and Physics. 2017. Vol. 113. Pp. 10-27. DOI: 10.1016/j.geomphys.2016.06.014

8. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Мир, 1970. 442 с. [Husemoller D. Fibre bundles. [2nd ed.]. N.Y.: Mc-Graw Hill, 1966. 300 p.].

9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 8-е изд. М.: Наука, 1965. 431 с.

Mathematics and Mathematical Modeling. 2018; : 45-61

Invertible Linear Ordinary Differential Operators Represented as a Composition of the Simplest Operators

Chetverikov V. N.

https://doi.org/10.24108/mathm.0418.0000138

Abstract

This article is a sequel to the earlier articles, which describe the invertible ordinary differential operators and their generalizations. The generalizations are invertible mappings of filtered modules generated by one differentiation, and are called invertible D-operators. In particular, invertible ordinary linear differential operators, invertible linear difference operators with periodic coefficients, maps defined by unimodular matrices, and C-transformations of control systems are invertible D-operators. C-Transformations are those invertible transformations for which the variables of one system are expressed in terms of the variables of the other system and their derivatives.
In the article we consider the invertible D-operators whose inverses are D-operators of the same type. In previous papers, a classification of invertible D-operators was obtained. Namely, a table of integers was associated to each invertible D-operator. These tables were described in a clear elementary-geometric language. Thus, to each invertible D-operator one assigns an elementary-geometric model, which is called a d-scheme of squares. The class of invertible D-operators having the same d-scheme was also described.
In this paper, the invertible D-operators whose d-schemes consist of a single square are called unicellular. It is proved that any unicellular operator in some bases is given by an upper triangular matrix that differs from the identity matrix only by the first row. The main result is representation of the arbitrary invertible D-operator as a composition of unicellular operators. The minimum number of unicellular operators in such a composition is equal to the number of squares of the d-scheme of the original D-operator. As in previous papers, the used method is based on the description of d-schemes in the language of spectral sequences of algebraic complexes.
The results obtained can be useful in the transformation and classification of control systems, in particular to describe flat systems.

References

1. Gromov M. Differentsial'nye sootnosheniya s chastnymi proizvodnymi: per. s angl. M.: Mir, 1990. 536 s. [Gromov M. Partial differential relations. B.; N.Y.: Springer, 1986. 363 p.].

2. Vinogradov A.M., Krasil'shchik I.S., Lychagin V.V. Vvedenie v geometriyu nelineinykh differentsial'nykh uravnenii. M.: Nauka, 1986. 336 s.

3. Chetverikov V.N. Metod linearizatsii dlya resheniya zadach ploskostnosti i poiska operatora sovmestnosti // Differentsial'nye uravneniya. 2006. T. 42. № 10. S. 1405-1415.

4. Chetverikov V.N. Klassifikatsiya i konstruirovanie obratimykh lineinykh differentsial'nykh operatorov na odnomernom mnogoobrazii // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana: Elektron. zhurn. 2014. № 7. S. 105-127. DOI: 10.7463/0714.0718107

5. Chetverikov V.N. Klassifikatsiya i konstruirovanie obobshchennykh obratimykh differentsial'nykh operatorov s odnoi nezavisimoi peremennoi // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2015. № 4. S. 13-40. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812952

6. Chetverikov V.N. Analiz i sintez obobshchennykh obratimykh differentsial'nykh operatorov s odnoi nezavisimoi peremennoi // Differentsial'nye uravneniya. 2015. T. 51. № 11. S. 1534-1544. DOI: 10.1134/S037406411511014X

7. Chetverikov V.N. Invertible linear ordinary differential operators // J. of Geometry and Physics. 2017. Vol. 113. Pp. 10-27. DOI: 10.1016/j.geomphys.2016.06.014

8. Kh'yuzmoller D. Rassloennye prostranstva. M.: Mir, 1970. 442 s. [Husemoller D. Fibre bundles. [2nd ed.]. N.Y.: Mc-Graw Hill, 1966. 300 p.].

9. Kurosh A.G. Kurs vysshei algebry. 8-e izd. M.: Nauka, 1965. 431 s.