Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Представление обратимых линейных обыкновенных дифференциальных операторов в виде композиции простейших операторов

https://doi.org/10.24108/mathm.0418.0000138

Полный текст:

Аннотация

Данная статья продолжает серию работ, посвященных описанию обратимых обыкновенных дифференциальных операторов и их обобщений. Обобщения представляют собой обратимые отображения фильтрованных модулей, порожденных одним дифференцированием, и называются обратимыми D-операторами. Такими операторами являются, в частности, обратимые обыкновенные линейные дифференциальные операторы, обратимые линейные разностные операторы с периодическими коэффициентами, отображения, определенные унимодулярными матрицами, а также С-преобразования систем с управлением. С-Преобразованиями называются такие обратимые преобразования, при которых переменные одной системы выражаются через переменные другой системы и их производные.
Рассматриваются обратимые D-операторы, обратные к которым являются D-операторами того же типа. В предыдущих работах была получена классификация обратимых D-операторов. А именно, каждому обратимому D-оператору была сопоставлена таблица чисел. Эти таблицы были описаны на наглядном элементарно-геометрическом языке. Таким образом, обратимому D-оператору ставится в соответствие элементарно-геометрическая модель, которая называется d-схемой квадратов. Класс обратимых D-операторов, имеющих одну и ту же d-схему, был также описан.
В данной работе обратимые D-операторы, d-схемы которых состоят из одного квадрата, названы одноклеточными. Доказывается, что любой одноклеточный оператор в некоторых базисах задается верхней треугольной матрицей, отличающейся от единичной матрицы только первой строкой. Основным результатом работы является представление произвольного обратимого D-оператора в виде композиции одноклеточных операторов. Минимальное количество одноклеточных операторов в такой композиции равно количеству квадратов d-схемы исходного D-оператора. Как и в предыдущих работах, применяемый метод основан на описании d-схем на языке спектральных последовательностей алгебраических комплексов.
Полученные результаты могут быть полезны при преобразовании и классификация систем с управлением, в частности, для описания плоских систем.

Об авторе

В. Н. Четвериков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия

Четвериков Владимир Николаевич

профессор кафедры математического моделирования, SPIN-код: 4694-7481



Список литературы

1. Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными: пер. с англ. М.: Мир, 1990. 536 с. [Gromov M. Partial differential relations. B.; N.Y.: Springer, 1986. 363 p.].

2. Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 336 с.

3. Четвериков В.Н. Метод линеаризации для решения задач плоскостности и поиска оператора совместности // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 10. С. 1405-1415.

4. Четвериков В.Н. Классификация и конструирование обратимых линейных дифференциальных операторов на одномерном многообразии // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана: Электрон. журн. 2014. № 7. С. 105-127. DOI: 10.7463/0714.0718107

5. Четвериков В.Н. Классификация и конструирование обобщенных обратимых дифференциальных операторов с одной независимой переменной // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 4. С. 13-40. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812952

6. Четвериков В.Н. Анализ и синтез обобщенных обратимых дифференциальных операторов с одной независимой переменной // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 11. С. 1534-1544. DOI: 10.1134/S037406411511014X

7. Chetverikov V.N. Invertible linear ordinary differential operators // J. of Geometry and Physics. 2017. Vol. 113. Pp. 10-27. DOI: 10.1016/j.geomphys.2016.06.014

8. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Мир, 1970. 442 с. [Husemoller D. Fibre bundles. [2nd ed.]. N.Y.: Mc-Graw Hill, 1966. 300 p.].

9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 8-е изд. М.: Наука, 1965. 431 с.


Для цитирования:


Четвериков В.Н. Представление обратимых линейных обыкновенных дифференциальных операторов в виде композиции простейших операторов. Математика и математическое моделирование. 2018;(4):45-61. https://doi.org/10.24108/mathm.0418.0000138

For citation:


Chetverikov V.N. Invertible Linear Ordinary Differential Operators Represented as a Composition of the Simplest Operators. Mathematics and Mathematical Modeling. 2018;(4):45-61. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0418.0000138

Просмотров: 88


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)