Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

О вычислении первых интегралов систем ОДУ третьего порядка

https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000123

Полный текст:

Аннотация

Поиск решений нелинейных стационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений бывает подчас весьма сложен. Далеко не всегда удаётся получить общее решение в аналитическом виде. В связи с этим получила развитие качественная теория нелинейных динамических систем, методы которой позволяют исследовать свойства решений без поиска общего решения. Широко применяются также численные методы исследования.

В случае, когда найти аналитически общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений не удаётся, иногда, тем не менее, возможно указать её первый интеграл. Известен ряд результатов, позволяющих получить первый интеграл для некоторых частных случаев.

Статья посвящена численному способу получения первых интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, основанному на факте интегрируемости инволютивного распределения.

Предлагаемый в настоящей статье способ позволяет в случае, когда известно векторное поле, порождающее вместе с векторным полем правой части заданной системы обыкновенных дифференциальных уравнений инволютивное распределение размерности 2 получить первый интеграл нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. При этом решение определённой последовательности задач Коши позволяет построить поверхность уровня функции первого интеграла, содержащую заданную точку пространства состояний системы. Используя метод наименьших квадратов, в ряде случаев можно также получить аналитическое выражение для первого интеграла.

В статье приведены примеры применения метода к двум системам.

Об авторе

А. В. Кавинов
http://alekseyvladimirovich.ru
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия

Кавинов Алексей Владимирович

каф. ФН-12 спин код 4071-4313



Список литературы

1. Gonzalez-Gascon F. A global first integral for certain dynamical systems and related remarks // Lettere al Nuovo Cimento. 1977. Vol. 20. No. 2. Pp. 54-56. DOI: 10.1007/BF02790711

2. Gonzalez-Gascon F., Peralta-Salas D. Symmetries and first integrals of divergence-free R3 vector fields // Intern. J. of Non-Linear Mechanics. 2000. Vol. 35. No. 4. Pp. 589–596. DOI: 10.1016/S0020-7462(99)00043-8

3. Llibre J., Peralta-Salas D. A note on the first integrals of vector fields with integrating factors and normalizers // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA). 2012. Vol. 8. Art.no. 035. Pp. 1-9. DOI: 10.3842/SIGMA.2012.035

4. Yanxia Hu, Keying Guan. Techniques for searching first integrals by Lie group and application to gyroscope system // Science in China Ser. A: Mathematics. 2005. Vol. 48. No. 8. Pp. 1135-1143. DOI: 10.1360/04ys0141

5. Strelcyn J.-M., Wojciechowski S. A method of finding integrals for three-dimensional dynamical systems // Physics Letters A. 1988. Vol. 133. No. 4-5. Pp. 207-212. DOI: 10.1016/0375-9601(88)91018-3

6. Wojciechowski S. A method of studying integrals of dynamical systems based on Frobenius’ integrability theorem // Symmetries in Science III. / Ed. by B. Gruber, F. Iachello. N.Y.: Plenum Press, 1989. Pp. 493-503. DOI: 10.1007/978-1-4613-0787-7_29

7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 4-е изд. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000. 367 с.

8. Ollagnier J.M., Strelcyn J.-M. On first integrals of linear systems, Frobenius integrability theorem and linear representations of Lie algebras // Bifurcations of planar vector fields. Proceedings of a Meeting held in Luminy, France, Sept. 18–22, 1989. B.: Springer, 1990. Pp. 243-271. DOI: 10.1007/BFb0085396

9. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd ed. B.; N.Y.: Springer, 1995. 549 p.

10. Giacomini H., Neukirch S. Integrals of motion and the shape of the attractor for the Lorenz model // Physics Letters A. 1997. Vol. 227. No. 5-6. Pp. 309-318. DOI: 10.1016/S0375-9601(97)00077-7


Для цитирования:


Кавинов А.В. О вычислении первых интегралов систем ОДУ третьего порядка. Математика и математическое моделирование. 2018;(6):11-21. https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000123

For citation:


Kavinov A.V. On Calculation of the First Integrals for Three-dimensional ODE Systems. Mathematics and Mathematical Modeling. 2018;(6):11-21. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000123

Просмотров: 82


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)