Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Математическое моделирование контактного взаимодействия двух упругих тел с помощью mortar-метода

https://doi.org/10.24108/mathm.0318.0000112

Полный текст:

Аннотация

Статья посвящена разработке алгоритма решения контактных задач теории упругости. Решение подобных задач зачастую сопряжено с необходимостью использования несогласованных сеток. Их стыковку можно осуществлять как с помощью итерационных процедур, формирующих так называемые альтернирующие методы Шварца, так и с помощью метода множителей Лагранжа или метода штрафа. Построенный в статье алгоритм использует mortar-метод для согласования конечных элементов на линии контакта. Все эти методы стыковки сеток позволяют обеспечить непрерывность перемещений и напряжений вблизи линии контакта. Однако одним из главных преимуществ mortar-метода является возможность независимого выбора различных типов конечных элементов и функций форм как на обеих границах двух тел на линии контакта, так и при интегрировании вдоль нее. Применение данного метода в совокупности с классической формулировкой метода конечных элементов, основанной на минимизации функционала Лагранжа, приводит к формированию системы линейных алгебраических уравнений с седловой точкой. В статье подробно обсуждается ее численное решение, основанное на использовании модифицированного метода симметричной последовательной верхней релаксации.

Результаты работы построенного алгоритма продемонстрированы на трех тестовых контактных задачах. В них анализируется напряженно-деформированное состояние различно нагруженных контактирующих двумерных пластин. Рассмотренные примеры показывают, что вблизи линии контакта сохраняется непрерывность распределений перемещений и напряжений. Универсальность разработанного алгоритма оставляет возможность провести дальнейший анализ эффективности применения mortar-метода при использовании разных видов конечных элементов и функций форм.

Об авторах

И. В. Станкевич
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия


П. С. Аронов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия


Список литературы

1. Галанин М.П., Крупкин А.В., Кузнецов В.И., Лукин В.В., Новиков В.В., Родин А.С., Станкевич И.В. Моделирование контактного взаимодействия системы термоупругих тел методом Шварца для многомерного случая // Известия высших учебных заведе-ний. Машиностроение. 2016. № 12. С. 9–20.

2. Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Разработка алгоритма контактного взаи-модействия на основе альтернирующего метода Шварца // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. Спец. вып. Прикладная математика. С. 134–141.

3. Le Tallec P., Sassi T. Domain decomposition with nonmatching grids: augmented Lagrangian approach // Mathematics of Computation. 1995. Vol. 64. Pp. 1367–1396. DOI: 10.1090/S0025-5718-1995-1308457-5

4. Галанин М.П., Глизнуцина П.В., Лукин В.В., Родин А.С. Варианты реализации метода множителей Лагранжа для решения двумерных контактных задач // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2015. № 89. 27 с.

5. Babuska I. The finite element method with penalty // Mathematics of Computation. 1973. Vol. 27. Pp. 221–228.

6. Wriggers P. Computational Contact Mechanics. Berlin-Heidelberg: Speinger-Verlag, 2006. 520 p. DOI: 10.1007/978-3-540-32609-0

7. Lamichhane B.P. Higher Order Mortar Finite Elements with Dual Lagrange Multiplier Spaces and Applications. Stuttgart: Universität Stuttgart. 2006. 190 p.

8. Healey M. The Mortar Boundary Element Method. London: Brunel University, 2010. 160 p.

9. Аронов П.С. Численное решение задач теории упругости методом конечных элементов // Политехнический молодежный журнал МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2017. №6. DOI: 10.18698/2541-8009-2017-6-106.

10. Аронов П.С. Численное решение контактной задачи теории упругости с односторонними связями с помощью смешанной схемы метода конечных элементов // Политехнический молодежный журнал. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2017. №10. DOI: 10.18698/2541-8009-2017-10-175.

11. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

12. Котович А.В., Станкевич И.В. Решение задач теории упругости методом конечных элементов: учеб. пособие. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. 112 с.

13. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. 129 с.

14. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1978. 222 с.

15. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: пер. с англ. М.: Мир, 1986. 318 с. [Zenkevich O., Morgan K. Finite elements and approximation. John Wiley & Sons, 1983. 352 p.]

16. Гуреева Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Применение МКЭ в смешанной формулировке для прочностных расчетов инженерных сооружений АПК // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. 2009. № 2. С. 123–129.

17. Wohlmuth B.I. A mortar finite element method using dual spaces for the Lagrange multiplier // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2000. Vol. 38, no. 3. Pp. 989–1012. DOI: 10.1137/S0036142999350929

18. Быченков Ю.В., Чижонков Е.В. Итерационные методы решения седловых задач. М.: БИНОМ, 2010. 349 с.

19. Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ: пер. с англ. М.: Мир, 1981. 408 с. [Temam R. Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis. AMS Chelsea Publishing, 1977. 426 p.]

20. Чижонков Е.В. К сходимости метода искусственной сжимаемости // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 1996. № 2. С. 13–20.

21. Чижонков Е.В. О сходимости модифицированного метода SSOR для алгебраической системы типа Стокса // В сб.: Численный анализ: методы и программы. М.: Изд-во Московского ун-та, 1998. С. 83–91.


Для цитирования:


Станкевич И.В., Аронов П.С. Математическое моделирование контактного взаимодействия двух упругих тел с помощью mortar-метода. Математика и математическое моделирование. 2018;(3):26-44. https://doi.org/10.24108/mathm.0318.0000112

For citation:


Stankevich I.V., Aronov P.S. Mathematical Modeling Mortar-method of Contact Interaction between Two Elastic Bodies. Mathematics and Mathematical Modeling. 2018;(3):26-44. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0318.0000112

Просмотров: 195


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)