Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Инвариантные компактные множества двумерных ограничений одной модели развития раковой опухоли

https://doi.org/10.24108/mathm.0419.0000108

Полный текст:

Аннотация

В статье рассматривается трехмерная модель развития рака показывающая взаимодействие иммунных, опухолевых и здоровых клеток. Данная модель была предложена в работе Пилис и Радунской и основывается на более ранней работе Кузнецова и др. Были получены положения равновесия указанной системы, а также сделаны предположения об ограничениях на параметры модели, которые не нарушают содержательного смысла рассматриваемой задачи. Далее в статье рассматривались двумерные ограничения этой модели. Основное внимание было уделено построению локализирующих множеств двумерных ограничений, характеризующихся отсутствием иммунных, здоровых или опухолевых клеток.

При рассмотрении двумерного ограничения модели при отсутствии иммунных клеток были получены положения равновесия и исследован их характер. Данные исследования проводились с учетом введенных ограничений на параметры системы. Было установлено, что при отсутствии иммунных клеток локализирующее множество состоит из одной точки (точки положения равновесия системы), которая является устойчивым узлом и указывает на наличие опухолевого образования.

В двумерном ограничении модели при отсутствии клеток-хозяев (здоровых клеток) было получено компактное локализирующее множество. Это ограничение имеет от двух до 4-х положений равновесия. При любых значений параметров системы положения равновесия содержатся в локализирующем множестве. Были найдены условия на параметры модели, при выполнении которых локализирующее множество оказывается отрезком координатной оси  и совпадает с максимальным инвариантным компактом.

При рассмотрении ограничения модели в отсутствии опухолевых клеток, было получено единственное устойчивое положение равновесия, которое соответствует здоровому организму. Все траектории в положительном октанте стремятся в устойчивое положение равновесия.

Об авторе

Е. С. Тверская
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия

Тверская Елена Сергеевна

ф-т: Фундаментальные науки

каф.: Математическое моделирование

доцент
SPIN-код: 2870-1935



Список литературы

1. Sherratt J.A., Chaplain M.A.J. A new mathematical model for avascular tumour growth // J. of Mathematical Biology. 2001. Vol. 43. No. 4. Pp. 291-312. DOI: 10.1007/s002850100088

2. Жукова И.В., Колпак Е.П. Математические модели злокачественной опухоли // Вестник Санкт-Петербург. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. Вып. 3. С. 5-18.

3. De Pillis L.G., Radunskaya A.E. A mathematical tumor model with immune resistance and drug therapy: an optimal control approach // J. of Theoretical Medicine. 2001. Vol. 3. No. 2. Pp. 79-100. DOI: 10.1080/10273660108833067

4. Kusnetsov V.A., Makalkin I.A., Taylor M.A., Perelson A.S. Nonlinear dynamics of immunogenic tumors: Parameter estimation and global bifurcation analysis // Bull. of Mathematical Biology. 1994. Vol. 56. No. 2. Pp. 295-321. DOI: 10.1016/S0092-8240(05)80260-5

5. De Pillis L.G., Fister K.R., Weiqing Gu, Collins C., Daub M., Gross D., Moore J., Preskill B. Mathematical model creation for cancer chemo-immunotherapy // Computation and Mathematical Methods in Medicine. 2009. Vol. 10. No. 3. Pp.165-184. DOI: 10.1080/17486700802216301

6. De Pillis L.G.,Weiqing Gu, Fister K.R., Head T., Maples K., Murugan A., Neal T., Yoshida K. Chemotherapy for tumors: An analysis of the dynamics and a study of quadratic and linear optimal controls // Mathematical Biosciences. 2007. Vol. 209. No.1. Pp. 292-315. DOI: 10.1016/j.mbs.2006.05.003

7. De Pillis L.G., Radunskaya A.E. The dynamics of an optimally controlled tumor model: A case study // Mathematical and Computer Modelling. 2003. Vol. 37. No. 11. Pp. 1221-1244. DOI: 10.1016/S0895-7177(03)00133-X

8. Starkov K.E., Krishchenko A. P. On the global dynamics of one cancer tumour growth model // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2014. Vol. 19. No. 5. Pp. 1486–1495. DOI: 10.1016/j.cnsns.2013.09.023

9. Viger L., Denis F., Rosalie M., Letellier C. A cancer model for the angiogenic switch // J. of Theoretical Biology. 2014. Vol. 360. Pp. 21-33. DOI: 10.1016/j.jtbi.2014.06.020

10. Sardanyes J., Rodrigues C., Januario C., Martins N., Gil-Gomez G., Duarte J. Activation of effector immune cells promotes tumor stochastic extinction: A homotopy analysis approach // Applied Mathematics and Computation. 2015. Vol. 252. Pp. 484-495. DOI: 10.1016/j.amc.2014.12.005

11. Крищенко А.П. Локализация простой и сложной динамики в нелинейных системах // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 11. С. 1440-1447. DOI: 10.1134/S0374064115110047

12. Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 12. С. 1597-1604.

13. Крищенко А.П. Исследование асимптотической устойчивости в целом методом локализации инвариантных компактов // Дифференциальные уравнения. 2016. T. 52. № 11. С. 1457-1464. DOI: 10.1134/S0374064116110029

14. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Инвариантные компакты динамических систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. 231 с.

15. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. 4-е изд. М.: Наука, 1990. 176 с.


Для цитирования:


Тверская Е.С. Инвариантные компактные множества двумерных ограничений одной модели развития раковой опухоли. Математика и математическое моделирование. 2019;(4):1-19. https://doi.org/10.24108/mathm.0419.0000108

For citation:


Tverskaya E.S. Invariant Compact Sets of Two-dimensional Restrictions for a Cancer Tumour Growth Model. Mathematics and Mathematical Modeling. 2019;(4):1-19. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0419.0000108

Просмотров: 207


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)