Журналов:     Статей:        

Математика и математическое моделирование. 2017; : 25-33

О приближении значений гипергеометрической функции с параметром из вещественного квадратичного поля

Иванков П. Л.

https://doi.org/10.24108/mathm.0117.0000057

Аннотация

При изучении арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических функций по ходу рассуждения всегда возникает необходимость оценить снизу модуль отличного от нуля целого алгебраического числа. Такая оценка удовлетворяет всем требованиям лишь в случае, когда упомянутое алгебраическое число является рациональным или лежит в некотором мнимом квадратичном поле. Трудности, связанные с тем, что ненулевое целое число из произвольного алгебраического поля может быть сколь угодно малым по абсолютной величине, удается преодолеть далеко не всегда.

Дополнительные проблемы создает также и то, что общий наименьший знаменатель первых  коэффициентов гипергеометрического ряда с иррациональными параметрами слишком быстро растет при , стремящемся к бесконечности. Последнее обстоятельство не позволяет применить принцип Дирихле для построения начальной функциональной приближающей формы, а построение такой формы обычно является первым шагом на пути к получению соответствующего арифметического результата.

Две указанные трудности приводят к тому, что многочисленные общие теоремы об арифметических свойствах сумм обобщенных гипергеометрических рядов с рациональными параметрами не удается распространить на случай, когда параметры берутся из произвольного поля алгебраических чисел.

В работе рассматривается гипергеометрическая функция частного вида, единственный параметр которой является квадратичной иррациональностью. Указанные выше трудности преодолеваются с помощью нескольких различных приемов. Линейная приближающая форма, с которой начинается рассуждение, строится с помощью метода, в котором одновременно используются элементы двух различных подходов к такому построению: применение принципа Дирихле сочетается с эффективным методом. Этот этап не присутствует в работе явно, поскольку осуществляется ссылка на уже известные теоремы. Проблема, связанная с тем, что целое число из вещественного квадратичного поля может быть сколь угодно малым по абсолютной величине, решается с помощью известного тождества из теории специальных функций. Кроме того, используются особые приемы технического характера, которые позволяют уточнить полученные ранее количественные результаты.

Список литературы

1. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 447 с.

2. Siegel C.L. Über einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abhandlungen der Preussische Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-Mathematische Klasse. 1929–1930. № 1. S. 1–70.

3. Osgood C.F. Some theorems on diophantine approximation // Trans. of the American Mathematical Society. 1966. Vol. 123. № 1. Pp. 64–87. DOI: 10.2307/1994613

4. Галочкин А.И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций // Математические заметки. 1970. Т. 8. № 1. С. 19–28. DOI: 10.1007/BF01093438

5. Иванков П.Л. О совместных приближениях значений некоторых целых функций числами из кубического поля // Вестник Московского ун-та. Сер.1: Математика, механика. 1987. № 3. С. 53–56.

6. Иванков П.Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами // Сибирский математический журнал. 1993. Т. 34. № 5. С. 53–62.

7. Bailey W.N. Products of generalized hypergeometric series // Proc. of the London Mathematical Society. 1928. Vol. s2-28. No. 1. Pp. 242–254. DOI: 10.1112/plms/s2-28.1.242

8. Салихов В.Х. О приводимости и линейной приводимости линейных дифференциальных уравнений // Вестник Московского ун-та. Сер. 1: Математика и механика. 1989. № 3. С. 3–8.

9. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 10-е изд. М.: Наука, 1990. 624 с.

10. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа: пер с нем. Ч. 1. М.: Наука, 1978. 391 с. [Polya G., Szego G. Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. 3. Aufl. Bd 1. B.; N.Y.: Springer, 1964.].

11. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New advances in transcendence theory. Camb.: Camb. Univ. Press, 1988. Pp. 207–214. DOI: 10.1017/CBO09780511897184.013

12. Galochkin A.I. Linear independence and transcendence of values of hypergeometric functions // Moscow J. of Combinatorics and Number Theory. 2011. Vol. 1. № 2. Pp. 27–32.

13. Иванков П.Л. О линейной независимости значений некоторых функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. № 1. С. 191–206.

14. Иванков П.Л. О совместных приближениях, учитывающих специфику однородного случая // Математические заметки. 2002. Т. 71. № 3. С. 390–397. DOI: 10.4213/mzm354

15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: пер. с англ. 2-е изд. Т. 1. М.: Наука, 1973. 294 с. [Higher transcendental functions / H. Bateman, A. Erdelyi. Vol. 1. N.Y.: McGraw-Hill Publ. Co., 1953.].

Mathematics and Mathematical Modeling. 2017; : 25-33

On the Hyper-geometric Function Value Approximation to the Parameter from the Real Quadratic Field

Ivankov P. L.

https://doi.org/10.24108/mathm.0117.0000057

Abstract

While studying arithmetic properties of the values of the generalized hyper-geometric functions there is always a need, arising in the process of reasoning, to have the lower estimate of the modulus of a nonzero algebraic integer. This estimate meets all the requirements only if the above-mentioned algebraic integer is rational or belongs to some imaginary quadratic field. It is by no means always possible to overcome difficulties caused by fact that a nonzero algebraic integer from the arbitrary algebraic field may be arbitrarily small.

Additional problems arise from the fact that the least common denominator of the first  coefficients of the hyper-geometric series with irrational parameters grows too fast if  tends to infinity. The last circumstance makes it impossible to use a Dirichlet principle for the construction of the initial functional approximating form, and the construction of such a form is usually the first step on the way to obtain the corresponding arithmetic result.

Because of two above-mentioned difficulties, numerous theorems concerning arithmetic properties of the sums of generalized hyper-geometric series with rational parameters cannot be extended to the case when the parameters are taken from the arbitrary field of the algebraic numbers.

In this paper we consider a special type of hyper-geometric function the only parameter of which is a real quadratic irrationality. The above-mentioned difficulties have been overcome here in several steps. The linear approximating form from which a consideration begins is constructed by a special method that simultaneously uses the elements of two different approaches to such a construction: an application of the Dirichlet principle is combined with an effective method. This step is not carried out explicitly in the paper, since the earlier proved theorems are referred to. The difficulty due to the fact that the absolute value of an integer from a real quadratic field can be arbitrarily small has been overcome by means of a certain identity from a theory of special functions. We use also some special techniques to refine the corresponding quantitative results obtained earlier.

References

1. Shidlovskii A.B. Transtsendentnye chisla. M.: Nauka, 1987. 447 s.

2. Siegel C.L. Über einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abhandlungen der Preussische Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-Mathematische Klasse. 1929–1930. № 1. S. 1–70.

3. Osgood C.F. Some theorems on diophantine approximation // Trans. of the American Mathematical Society. 1966. Vol. 123. № 1. Pp. 64–87. DOI: 10.2307/1994613

4. Galochkin A.I. Otsenki snizu lineinykh form ot znachenii nekotorykh gipergeometricheskikh funktsii // Matematicheskie zametki. 1970. T. 8. № 1. S. 19–28. DOI: 10.1007/BF01093438

5. Ivankov P.L. O sovmestnykh priblizheniyakh znachenii nekotorykh tselykh funktsii chislami iz kubicheskogo polya // Vestnik Moskovskogo un-ta. Ser.1: Matematika, mekhanika. 1987. № 3. S. 53–56.

6. Ivankov P.L. O lineinoi nezavisimosti znachenii tselykh gipergeometricheskikh funktsii s irratsional'nymi parametrami // Sibirskii matematicheskii zhurnal. 1993. T. 34. № 5. S. 53–62.

7. Bailey W.N. Products of generalized hypergeometric series // Proc. of the London Mathematical Society. 1928. Vol. s2-28. No. 1. Pp. 242–254. DOI: 10.1112/plms/s2-28.1.242

8. Salikhov V.Kh. O privodimosti i lineinoi privodimosti lineinykh differentsial'nykh uravnenii // Vestnik Moskovskogo un-ta. Ser. 1: Matematika i mekhanika. 1989. № 3. S. 3–8.

9. Demidovich B.P. Sbornik zadach i uprazhnenii po matematicheskomu analizu. 10-e izd. M.: Nauka, 1990. 624 s.

10. Polia G., Sege G. Zadachi i teoremy iz analiza: per s nem. Ch. 1. M.: Nauka, 1978. 391 s. [Polya G., Szego G. Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. 3. Aufl. Bd 1. B.; N.Y.: Springer, 1964.].

11. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New advances in transcendence theory. Camb.: Camb. Univ. Press, 1988. Pp. 207–214. DOI: 10.1017/CBO09780511897184.013

12. Galochkin A.I. Linear independence and transcendence of values of hypergeometric functions // Moscow J. of Combinatorics and Number Theory. 2011. Vol. 1. № 2. Pp. 27–32.

13. Ivankov P.L. O lineinoi nezavisimosti znachenii nekotorykh funktsii // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 1995. T. 1. № 1. S. 191–206.

14. Ivankov P.L. O sovmestnykh priblizheniyakh, uchityvayushchikh spetsifiku odnorodnogo sluchaya // Matematicheskie zametki. 2002. T. 71. № 3. S. 390–397. DOI: 10.4213/mzm354

15. Beitmen G., Erdeii A. Vysshie transtsendentnye funktsii: per. s angl. 2-e izd. T. 1. M.: Nauka, 1973. 294 s. [Higher transcendental functions / H. Bateman, A. Erdelyi. Vol. 1. N.Y.: McGraw-Hill Publ. Co., 1953.].