Журналов:     Статей:        

Математика и математическое моделирование. 2016; : 10-17

О квантовой лиевской нильпотентности ступени 2

Киреева Е. А.

https://doi.org/10.7463/mathm.0316.0846913

Аннотация

Статья посвящена исследованию свободных алгебр многообразий ассоциативных алгебр, удовлетворяющих тождествам квантовой лиевской нильпотентности ступеней 1 и 2. Пусть q – обратимый элемент основного поля K (или его расширения). Квантовым коммутатором называется элемент

[x,y]q = xy-qyx

свободной ассоциативной алгебры. Рассмотрены алгебры, удовлетворяющие тождествам

                                                                       [x,y]q = 0                                                               (1)

и

                                                                     [[x,y]q ,z]q = 0                                                          (2)

Указанные алгебры естественно считать квантовыми аналогами коммутативных алгебр и алгебр лиевской нильпотентности ступени 2. Свободные алгебры многообразий ассоциативных алгебр, задаваемые тождеством лиевской нильпотентности ступени 2, то есть тождеством

[[x,y] ,z] =0,

где [x,y]=xy-yx  - лиевский коммутатор, представляют большой интерес в теории алгебр с тождествами, поскольку, как было доказано А.В.Гришиным для алгебр над полями характеристики 2, и В.В.Щиголевым для алгебр над полями характеристики p>2, данные алгебры содержат неконечнопорождённые Т-пространства.

В статье доказано, что алгебры с тождествами (1) и (2) являются нильпотентными в обычном смысле при любом отличном от 1 значении квантового параметра. В работе точно вычисляются ступени нильпотентности для таких алгебр. А именно, доказано, что свободная алгебра многообразия ассоциативных алгебр, задаваемого тождеством (1), является нильпотентной ступени 2, если q ± 1, и нильпотентной ступени 3, если q = - 1 и характеристика K не равна 2. Также доказано, что свободная алгебра многообразия ассоциативных алгебр, задаваемого тождеством (2), является нильпотентной ступени 3, если q3 ≠ 1, q ± 1, нильпотентной ступени 4, если q3 = 1, q ≠ 1, и нильпотентной ступени 5, если q = - 1 и характеристика K не равна 2. Следствием последнего из утверждений является тот факт, что данная алгебра не содержит неконечнопорождённых Т-пространств.

Список литературы

1. Бахтурин Ю.А., Ольшанский А.Ю. Тождества. В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 18. С. 117-240.

2. Drensky V.S. Free algebras and PI-algebras. Singapore: Springer-Verlag Singapore, 2000. 272 p.

3. Гришин А.В. Примеры не конечной базируемости T-пространств и T-идеалов в характеристике 2 // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5, № 1. С. 101-118.

4. Щиголев В.В. Примеры бесконечно базируемых T-пространств // Математический сборник. 2000. T. 191, № 3. С. 143-160. DOI: 10.4213/sm467

5. Белов А.Я. О нешпехтовых многообразиях // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5, № 1. С. 47-66.

6. Щиголев В.В. Примеры бесконечно базируемых T-идеалов // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5, № 1. С. 307-312.

7. Киреева Е.А. О конечной порожденности вполне инвариантных подмодулей в алгебрах многочленов // Чебышевский сборник. 2001. Т.2, № 1. С. 54-60.

8. Щиголев В.В. Конечная базируемость T-пространств над полями нулевой характеристики // Известия РАН. Сер. математическая. 2001. Т. 65, № 5. С. 191-224. DOI: 10.4213/im362

9. Дринфельд В.Г. Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера // Доклады Академии наук СССР. 1985, Т. 283. С. 1060-1064.

10. Jimbo M. A q-difference analogue of U(g) and the Yang-Baxter equation // Letters in Mathematical Physics. 1985. Vol. 10, no. 1, Pp. 63-69. DOI: 10.1007/BF00704588

Mathematics and Mathematical Modeling. 2016; : 10-17

On Quantum Lie Nilpotency of Order 2

Kireeva E. A.

https://doi.org/10.7463/mathm.0316.0846913

Abstract

The paper investigates the free algebras of varieties of associative algebras modulo identities of quantum Lie nilpotency of order 1 and 2. Let q be an invertible element of the ground field K (or of its extension). The element

[x,y]q = xy-qyx

of the free associative algebra is called a quantum commutator. We consider the algebras modulo identities  

                                                         [x,y]q = 0                                             (1)

and

                                                      [[x,y]q ,z]q = 0.                                       (2)

It is natural to consider the aforementioned algebras as the quantum analogs of commutative algebras and algebras of Lie nilpotency of order 2. The free algebras of the varieties of associative algebras modulo the identity of Lie nilpotency of order 2, that is the identity

[[x,y] ,z] =0,

where [x,y]=xy-yx is a Lie commutator, are of great interest in the theory of algebras with polynomial identities, since it was proved by A.V.Grishin for algebras over fields of characteristic 2, and V.V.Shchigolev for algebras over fields of characteristic p>2, that these algebras contain non-finitely generated T-spaces.

We prove in the paper that the algebras modulo identities (1) and (2) are nilpotent in the usual sense and calculate precisely the nilpotency order of these algebras. More precisely, we prove that the free algebra of the variety of associative algebras modulo identity (1) is nilpotent of order 2 if q ± 1, and nilpotent of order 3 if q = - 1 and the characteristic of K is not equal to 2. It is also proved that the free algebra of the variety of associative algebras modulo identity (2) is nilpotent of order 3 if q3 ≠ 1, q ± 1, nilpotent of order 4 if q3 = 1, q ≠ 1, and nilpotent of order 5 if q = - 1 and the characteristic of K is not equal to 2. The corollary of the last fact is that this algebra doesn’t contain non-finitely generated T-spaces.

References

1. Bakhturin Yu.A., Ol'shanskii A.Yu. Tozhdestva. V kn.: Sovremennye problemy matematiki. Fundamental'nye napravleniya. M.: VINITI, 1988. T. 18. S. 117-240.

2. Drensky V.S. Free algebras and PI-algebras. Singapore: Springer-Verlag Singapore, 2000. 272 p.

3. Grishin A.V. Primery ne konechnoi baziruemosti T-prostranstv i T-idealov v kharakteristike 2 // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 1999. T. 5, № 1. S. 101-118.

4. Shchigolev V.V. Primery beskonechno baziruemykh T-prostranstv // Matematicheskii sbornik. 2000. T. 191, № 3. S. 143-160. DOI: 10.4213/sm467

5. Belov A.Ya. O neshpekhtovykh mnogoobraziyakh // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 1999. T. 5, № 1. S. 47-66.

6. Shchigolev V.V. Primery beskonechno baziruemykh T-idealov // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 1999. T. 5, № 1. S. 307-312.

7. Kireeva E.A. O konechnoi porozhdennosti vpolne invariantnykh podmodulei v algebrakh mnogochlenov // Chebyshevskii sbornik. 2001. T.2, № 1. S. 54-60.

8. Shchigolev V.V. Konechnaya baziruemost' T-prostranstv nad polyami nulevoi kharakteristiki // Izvestiya RAN. Ser. matematicheskaya. 2001. T. 65, № 5. S. 191-224. DOI: 10.4213/im362

9. Drinfel'd V.G. Algebry Khopfa i kvantovoe uravnenie Yanga-Bakstera // Doklady Akademii nauk SSSR. 1985, T. 283. S. 1060-1064.

10. Jimbo M. A q-difference analogue of U(g) and the Yang-Baxter equation // Letters in Mathematical Physics. 1985. Vol. 10, no. 1, Pp. 63-69. DOI: 10.1007/BF00704588