Журналов:     Статей:        

Математика и математическое моделирование. 2015; : 59-72

Математическое моделирование электропроводности диэлектрика с дисперсными металлическими включениями

Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н., Пугачёв О. В.

Аннотация

С использованием вариационного подхода получена двойственная вариационная формулировка задачи электрокинетики применительно к композиту, диэлектрическая матрица которого модифицирована дисперсными металлическими включениями, покрытыми слоем электроизоляции в целях предотвращения эффекта перколяции при увеличении объемной концентрации включений. Эта формулировка включает два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), которые на истинном решении задачи имеют одинаковые экстремальные значения, и позволяет установить двусторонние границы возможных значений электрической проводимости рассматриваемого композита, а также оценить наибольшую возможную погрешность, которая может возникнуть при использовании в качестве искомого значения электрической проводимости полусуммы установленных границ. Количественный анализ возможных погрешностей (в том числе с использованием подхода, позволяющего сблизить двусторонние границы) показал, что для реальных характеристик матрицы и включений рассматриваемого композита необходимо построение математических моделей, учитывающих особенности его структуры и взаимодействие его структурных элементов. На основе построенного варианта подобной модели получена расчетная зависимость для вычисления электрической проводимости рассматриваемого композита и проведен количественный анализ этой зависимости.

DOI: 10.7463/mathm.0315.0793596

Список литературы

1. Физика композиционных материалов. В 2 т. Т. 2 / под общ. ред. Н.Н. Трофимова. М.: Мир, 2005. 344 с

2. Физический энциклопедический словарь / гл. ред. А.М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1983. 928 с

3. Тареев Б.М. Физика диэлектрических материалов. М.: Энергоиздат, 1982. 320 с

4. Электрические свойства полимеров / под ред. Б.И. Сажина. Л.: Химия, 1986. 224 с

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с

6. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 208 с

7. Политехнический словарь / гл. ред. А.Ю. Ишлинский. М.: Советская энциклопедия, 1989. 656 с

8. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П., Маркевич М.Н. Математическое моделирование диэлектрических свойств полимер-керамических композиционных материалов методом асимптотического осреднения // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 10. С. 97-108. DOI: 10.7463/1013.0623343

9. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с

10. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Пугачев О.В. Вариационный подход к оценке диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон журн. 2015. № 2. С. 37-49. DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483

11. Толмачев В.В., Головин А.М., Потапов В.С. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 232 с

12. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценки диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. № 3. С. 50-64

13. Физические величины: Справочник / под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с

14. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials // Journal of Applied Physics. 1962. Vol. 33, is. 10. P. 3125-3132. DOI: 10.1063/1.1728579

Mathematics and Mathematical Modeling. 2015; : 59-72

Mathematical Modeling of Electrical Conductivity of Dielectric with Dispersed Metallic Inclusions

Zarubin V. S., Kuvyrkin G. N., Pugachev O. V.

Abstract

Composites are increasingly used for application in engineering as structural, thermal protection and functional materials, including dielectrics, because of a wide variety of properties. The relative dielectric constant and the dielectric loss tangent are basic functional characteristics of a composite used as a dielectric. The quantitative level of these characteristics is mainly affected by the properties of the composite matrix and inclusions as well as their shape and volume concentration. Metallic inclusions in a dielectric, which serves as a function of the composite matrix, expand electrical properties of the composite in particular increase its dielectric constant and dielectric loss tangent and thereby greatly expand its application field. Dielectric losses are defined by the imaginary component of the complex value of the relative dielectric constant of the dielectric. At a relatively low vibration frequency of electromagnetic field affecting the dielectric, this value is proportional to the electrical conductivity of the dielectric and inversely proportional to the frequency. In order to predict the expected value of the electric conductivity of the dielectric with metallic inclusions, a mathematical model that properly describes the structure of the composite and the electrical interaction of the matrix and inclusions is required.
In the paper, a mathematical model of the electrical interaction of the representative element of the composite structure and a homogeneous isotropic medium with electrical conductivity, which is desired characteristics of the composite, is constructed. Globular shape of the metallic inclusions as an average statistical form of dispersed inclusions with a comparable size in all directions is adopted. The inclusion is covered with a globular layer of electrical insulation to avoid percolation with increasing volume concentration of inclusions. Outer globular layer of representative structure of composite elements consists of the dielectric material matrix.
Quantitative analysis of two-sided estimates of possible values of the electrical conductivity of the composite, which are constructed by using dual variational electrokinetics problem statement for a heterogeneous solid body, showed that for real dielectric matrix material combinations and metallic inclusions in case when their electrical conductivity can differ by more than 10 orders of magnitude, these estimates can vary widely the specified characteristics of a composite. Therefore, to obtain the estimated effective dependence, a solution to the electrokinetics problem for representative element of the composite structure based on the assumption about ideal conductivity of metallic inclusions is found. It is shown that this dependence reflects properly the influence of the properties of the structural elements of a composite on its electrical conductivity.

DOI: 10.7463/mathm.0315.0793596

References

1. Fizika kompozitsionnykh materialov. V 2 t. T. 2 / pod obshch. red. N.N. Trofimova. M.: Mir, 2005. 344 s

2. Fizicheskii entsiklopedicheskii slovar' / gl. red. A.M. Prokhorov. M.: Sovetskaya entsiklopediya, 1983. 928 s

3. Tareev B.M. Fizika dielektricheskikh materialov. M.: Energoizdat, 1982. 320 s

4. Elektricheskie svoistva polimerov / pod red. B.I. Sazhina. L.: Khimiya, 1986. 224 s

5. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskaya fizika. V 10 t. T. 8. Elektrodinamika sploshnykh sred. M.: Nauka, 1992. 664 s

6. Vinogradov A.P. Elektrodinamika kompozitnykh materialov. M.: Editorial URSS, 2001. 208 s

7. Politekhnicheskii slovar' / gl. red. A.Yu. Ishlinskii. M.: Sovetskaya entsiklopediya, 1989. 656 s

8. Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P., Markevich M.N. Matematicheskoe modelirovanie dielektricheskikh svoistv polimer-keramicheskikh kompozitsionnykh materialov metodom asimptoticheskogo osredneniya // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2013. № 10. S. 97-108. DOI: 10.7463/1013.0623343

9. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2008. 512 s

10. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Pugachev O.V. Variatsionnyi podkhod k otsenke dielektricheskoi pronitsaemosti kompozita s dispersnymi vklyucheniyami // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron zhurn. 2015. № 2. S. 37-49. DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483

11. Tolmachev V.V., Golovin A.M., Potapov V.S. Termodinamika i elektrodinamika sploshnoi sredy. M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1988. 232 s

12. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Otsenki dielektricheskoi pronitsaemosti kompozita s dispersnymi vklyucheniyami // Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie. 2015. № 3. S. 50-64

13. Fizicheskie velichiny: Spravochnik / pod red. I.S. Grigor'eva, E.Z. Meilikhova. M.: Energoatomizdat, 1991. 1232 s

14. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials // Journal of Applied Physics. 1962. Vol. 33, is. 10. P. 3125-3132. DOI: 10.1063/1.1728579